Calculo Diferencial: 4ta Clase

1.3 Asíntotas

Definición:

“Es una recta imaginaria que nosotros calculamos y representamos como una línea discontinua”.

Esta recta tiene la propiedad de que en el infinito no puede ser traspasada por la gráfica de la función y ser graficada para entender esas líneas imaginarias que conectan la función entre sí.

Hay tres tipos de asíntotas: vertical, horizontal y oblicuas. El orden a seguir para calcular las asíntotas verticales, segundo las horizontales y por ultimo las oblicuas.

Notas: Si hay asíntota horizontal no hay asíntota oblicua.

1.3.1 Horizontal

Características y pasos para calcular las asíntotas verticales:

Las asíntotas horizontales nos indican a que tiende la función cuando la x es muy grande o muy pequeña.

 1. Calculamos el límite de la función cuando x tiende a infinito. Si existe el límite (valor infinito), el valor del límite es una asíntota horizontal.

 El valor de la asíntota se escribe: y = b


2. Son rectas paralelas al eje X. Se escribe:
    y = valor de la asíntota horizontal.

 3. Las funciones racionales tienen asíntotas en los siguientes casos:
 



           a)    Cuando el numerador y el denominador son del mismo grado.

b)    Cuando el grado del denominador es mayor al grado del numerador.

 4. Las funciones exponenciales tienen asíntotas horizontales en y = 0.

 Ejemplo:
1. 

 
Calcular el límite:


Hay una asíntota horizontal en y = 1

Graficar:


Graficamos ya sea con una aplicación o con el tabulador, para observar los datos obtenidos.

2. 

Calcular el límite:


La función presenta una asíntota horizontal en y = 0, es el eje X.

Graficar:


Graficamos ya sea con una aplicación o con el tabulador, para observar los datos obtenidos.


1.3.2 Vertical

Características y pasos para calcular las asíntotas verticales:
    
     1. Calculamos el dominio de la función.
     2. Tomamos el límite, para los valores de x que no pertenecen al dominio. Si el límite nos da infinito, en esos valores hay una asíntota vertical.
3. Para saber a qué tiende la función hay que tomar el o los límites laterales. La solución puede ser 


     4. Son rectas paralelas del eje Y. Se escriben x = valor de las asíntotas verticales.
     
     5. Funciones que pueden tener asíntotas verticales:
Funciones racionales: k/0.
Funciones logarítmicas.
Funciones tangentes.
     
     Ejemplos: 

 1. 
Calculamos el dominio de la función.


Usamos la factorización:
por tal motivo si multiplicamos y sumamos:

la combinación que cumple ambas condiciones es: 3 y 7.

 Entonces reescribiendo la ecuación: 

El dominio quedaría: 
Tomamos el límite:


Si x = -3


Hay asíntota vertical en x = -3.


Si x = -7


Hay asíntota vertical en x = -7

Tomamos el límite lateral:


Para x=-3, por la izquierda x = -3.01 y por la derecha -2.99



Para x=-7, por la izquierda x = -7.01 y por la derecha -6.99


 Graficamos ya sea con una aplicación o con el tabulador, para observar los datos obtenidos.

2. y = log (2x + 6)

Calculamos el dominio de la función.

Como es un logaritmo, sabemos que solo puede usar valores mayores a cero, por tal motivo encontramos el valor que cumpla la condición: 2x + 6 > 0.

Entonces: 

Por tal motivo el dominio es: 

Tomamos el límite:


Si x = -3


Hay asíntota vertical en x = -3

Tomamos el límite lateral:


Para x=-3, por la izquierda no sé puede y por la derecha -2.99


Graficamos ya sea con una aplicación o con el tabulador, para observar los datos obtenidos.

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